特殊四边形与反比例函数的应用

秦萍++王锋+++

以特殊四边形与反比例函数的图像为载体设计的数学问题，沟通了反比例函数与几何图形的性质之间的密切关系，这类问题的设计突出表现在如下三个方面.

一、利用特殊四边形的性质找到在反比例函数图像上的顶点坐标确定反比例函数的解析式

例1.如图1，菱形的顶点在轴上，顶点C的坐标为（-3，2）．若反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K的值为（）

A.-6. B.-3.C.3.D.6.

解析：如图1，因为菱形的两条对角线互相垂直平分，又在轴上，所以顶点C、A关于轴对称，已知C的坐标为（-3，2），所以A的坐标为（3，2）.

反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K=3×2=6，故选D.

二、根据反比例函数比例系数的几何意义探究特殊四边形的面积

例2.如图2，点A是反比例函数y=-■（x＜0）的图像上的一点，过点A作□ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则□ABCD的面积为（）

A.1B.3

C.6D.12

分析：过点A作AE⊥OB于点E，容易证明△ABE≌△DCO.

所以平行四边形ABCD的面积等于矩形ADOE的面积等于AD×AE.

根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．故选C．

例3.如图3，点A是反比例函数y=■(x＞0)的图像上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－■ 的图像于点B.以AB为边作□ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为()

A．2 B．3

C．4 D．5

分析：分别过点B、A作BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，因为AB∥x轴，所以BE=AF.四边形ABCD为平行四边形，所以BC=AD，所以△BCE≌△AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故选D.

评注：例2、3都考查反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图像上的点向两坐标轴作垂线段，围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取负.

三、以点的坐标为载体设计规律探究问题

例4.给出下列命题：

命题1：直线y=x与双曲线有一个交点是（1，1）；

命题2：直线y=8x与双曲线y=■有一个交点是（■，4）；

命题3：直线y=27x与双曲线y=■有一个交点是（■，9）；

命题4：直线y=64x与双曲线y=■有一个交点是（■，16）；

……

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题．

解析：观察命题1~4的结构特征可以发现反比例函数的比例系数与命题的序号是相同的，直线解析式中一次项的系数是命题的序号的立方数，交点的横坐标是命题相应序号的倒数，纵坐标是命题相应序号数的平方数. 据此可以猜想出（1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.

（2）将（■，n2）代入直线y=n3x得：右边n3×■=n2，左边为n2，所以左边等于右边，所以点(■，n2)在直线y=n3x上，同理可证：点（■，n2）在双曲线y=■上.

∴直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.

（作者单位：江苏省丰县单楼中学）

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以特殊四边形与反比例函数的图像为载体设计的数学问题，沟通了反比例函数与几何图形的性质之间的密切关系，这类问题的设计突出表现在如下三个方面.

一、利用特殊四边形的性质找到在反比例函数图像上的顶点坐标确定反比例函数的解析式

例1.如图1，菱形的顶点在轴上，顶点C的坐标为（-3，2）．若反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K的值为（）

A.-6. B.-3.C.3.D.6.

解析：如图1，因为菱形的两条对角线互相垂直平分，又在轴上，所以顶点C、A关于轴对称，已知C的坐标为（-3，2），所以A的坐标为（3，2）.

反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K=3×2=6，故选D.

二、根据反比例函数比例系数的几何意义探究特殊四边形的面积

例2.如图2，点A是反比例函数y=-■（x＜0）的图像上的一点，过点A作□ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则□ABCD的面积为（）

A.1B.3

C.6D.12

分析：过点A作AE⊥OB于点E，容易证明△ABE≌△DCO.

所以平行四边形ABCD的面积等于矩形ADOE的面积等于AD×AE.

根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．故选C．

例3.如图3，点A是反比例函数y=■(x＞0)的图像上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－■ 的图像于点B.以AB为边作□ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为()

A．2 B．3

C．4 D．5

分析：分别过点B、A作BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，因为AB∥x轴，所以BE=AF.四边形ABCD为平行四边形，所以BC=AD，所以△BCE≌△AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故选D.

评注：例2、3都考查反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图像上的点向两坐标轴作垂线段，围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取负.

三、以点的坐标为载体设计规律探究问题

例4.给出下列命题：

命题1：直线y=x与双曲线有一个交点是（1，1）；

命题2：直线y=8x与双曲线y=■有一个交点是（■，4）；

命题3：直线y=27x与双曲线y=■有一个交点是（■，9）；

命题4：直线y=64x与双曲线y=■有一个交点是（■，16）；

……

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题．

解析：观察命题1~4的结构特征可以发现反比例函数的比例系数与命题的序号是相同的，直线解析式中一次项的系数是命题的序号的立方数，交点的横坐标是命题相应序号的倒数，纵坐标是命题相应序号数的平方数. 据此可以猜想出（1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.

（2）将（■，n2）代入直线y=n3x得：右边n3×■=n2，左边为n2，所以左边等于右边，所以点(■，n2)在直线y=n3x上，同理可证：点（■，n2）在双曲线y=■上.

∴直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.

（作者单位：江苏省丰县单楼中学）

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以特殊四边形与反比例函数的图像为载体设计的数学问题，沟通了反比例函数与几何图形的性质之间的密切关系，这类问题的设计突出表现在如下三个方面.

一、利用特殊四边形的性质找到在反比例函数图像上的顶点坐标确定反比例函数的解析式

例1.如图1，菱形的顶点在轴上，顶点C的坐标为（-3，2）．若反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K的值为（）

A.-6. B.-3.C.3.D.6.

解析：如图1，因为菱形的两条对角线互相垂直平分，又在轴上，所以顶点C、A关于轴对称，已知C的坐标为（-3，2），所以A的坐标为（3，2）.

反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K=3×2=6，故选D.

二、根据反比例函数比例系数的几何意义探究特殊四边形的面积

例2.如图2，点A是反比例函数y=-■（x＜0）的图像上的一点，过点A作□ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则□ABCD的面积为（）

A.1B.3

C.6D.12

分析：过点A作AE⊥OB于点E，容易证明△ABE≌△DCO.

所以平行四边形ABCD的面积等于矩形ADOE的面积等于AD×AE.

根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．故选C．

例3.如图3，点A是反比例函数y=■(x＞0)的图像上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－■ 的图像于点B.以AB为边作□ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为()

A．2 B．3

C．4 D．5

分析：分别过点B、A作BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，因为AB∥x轴，所以BE=AF.四边形ABCD为平行四边形，所以BC=AD，所以△BCE≌△AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故选D.

评注：例2、3都考查反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图像上的点向两坐标轴作垂线段，围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取负.

三、以点的坐标为载体设计规律探究问题

例4.给出下列命题：

命题1：直线y=x与双曲线有一个交点是（1，1）；

命题2：直线y=8x与双曲线y=■有一个交点是（■，4）；

命题3：直线y=27x与双曲线y=■有一个交点是（■，9）；

命题4：直线y=64x与双曲线y=■有一个交点是（■，16）；

……

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题．

解析：观察命题1~4的结构特征可以发现反比例函数的比例系数与命题的序号是相同的，直线解析式中一次项的系数是命题的序号的立方数，交点的横坐标是命题相应序号的倒数，纵坐标是命题相应序号数的平方数. 据此可以猜想出（1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.

（2）将（■，n2）代入直线y=n3x得：右边n3×■=n2，左边为n2，所以左边等于右边，所以点(■，n2)在直线y=n3x上，同理可证：点（■，n2）在双曲线y=■上.

∴直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.

（作者单位：江苏省丰县单楼中学）

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